Leetcode62. 不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

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输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

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输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

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输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

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输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2×1092 \times 10^9

解题思路

这道题第一反应就是先用动态规划试试，与最小路径和有些类似。

如果我们用dp[i][j]dp[i][j]表示从左上角走到(i,j)(i,j)的路径数量。由于每一步智能向下或者向右移动，所以要走到(i,j)(i,j)位置上，要么从(i−1,j)(i-1,j)位置上向下或者从(i,j−1)(i,j-1)位置上向右，所以可以得到下述的转移方程：

dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1],1≤i<m;dp[i][j]=1,i×j=0;dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1],\quad 1 \leq i < m;\\\\ dp[i][j]=1, \quad i \times j = 0;

据此可以写出对应代码，具体细节见示例代码：

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int uniquePaths(int m, int n)
{
    vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n,1));
    for(int i=1;i<m;++i)
    {
        for(int j=1;j<n;++j)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

时间复杂度：O(m×n)O(m \times n)

空间复杂度：O(m×n)O(m \times n)

PS：

这道题还可以用排列组合的知识解决，它的时空复杂度最优。