剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

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2
输入：n = 2
输出：2

示例 2：

1
2
输入：n = 7
输出：21

示例 3：

1
2
输入：n = 0
输出：1

提示：

  • 0 <= n <= 100

解题思路

这道题是一道很经典的动态规划的题。

基本思路就是用动态数组中的元素dp[i]表示跳到i级台阶共有多少种跳法。那么我们可以很容易得到状态转移方程：

1
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]     //因为一次只能跳一阶或者两阶台阶

然后边界条件就是跳到0级台阶的情况：

1
dp[0] = 1

然后照此思想编程就可以了。

但是这里有一个问题需要注意，在台阶数很大的情况下，用int、long、long long可能都会溢出，由于输出的时候需要取模，所以我们可以用下述公式避免数据溢出的问题：

1
(a + b) % c = (a % c + b % c ) % c

示例代码

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int numWays(int n){
    vector<int> dp(n + 1, 0);
    dp[0] = 1;

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        dp[i] = dp[i - 1] % 1000000007 + (i >= 2 ? dp[i - 2] % 1000000007 : 0);
    }

    return dp[n] % 1000000007;
}

然后发现这里用一个数组去存储中间结果有些浪费空间，我们只需要用两个数来存储dp[i - 1] % 1000000007和dp[i - 2] % 1000000007就可以了。

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int numWays(int n){
    int a = 1;
    int b = 1;

    if(n == 0 || n == 1) return 1;

    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        int t = (a % 1000000007 + b % 1000000007) % 1000000007;
        b = a;
        a = t;
    }

    return a;
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)O(n)

空间复杂度：O(n)O(n)，如果是第二个方法的话，空间复杂度是O(1)O(1)